Decelererende Satellite

[HansChristian]

Når en satellit udsættes for modstand mod kredsløbsbevægelsen, fx fra tynd atmosfære eller solvind, da vil den som følge af dette decelererer, - men samtidig vil den falde en smule ned mod Jorden, og deres følgende accelerere.
Hvordan regner man det ændrede kredsløbshastighed ud?

[Morten Jødal]

Efter Newtons gravitationslov!

Du synes at forestille dig, at satellitter kun kan bevæge sig i cirkelbaner, og derved opstår dit problem.
Den normale bane er imidlertid en ellipse, og det er helt normalt, at en satellit har højere fart i den del af banen, der er nærmere centrallegemet, end i den anden del.
"Din" satellit vil miste kinetisk energi og derfor gå ind i en lavere ellipsebane, som i dette tilfælde tillige får større ekscentricitet. - men dens apoapsis vil mindst have samme afstand fra centrallegemet, som der hvor den blev ramt af påvirkningen, der kostede kinetisk energi.

Forklaringen er den simple, at når drabanten nærmer sig centrallegemet, mister den potentiel energi, som derved veksles til kinetisk energi. Det modsatte sker i den anden halvdel af banen.

Det mest velbeskrevne studieobjekt er Jorden, hvis ellipsebane omkring Solen heldigvis er ganske stabil, men alligevel har årlige variationer:
Om vinteren er døgnet lidt længere end om sommeren, fordi Jorden er nærmest Solen ca. 3. januar og derfor når en lidt længere del af sin bane pr. døgn. Som bekendt er "et døgn" jo ikke det samme som "et omløb" (som blandt astronomer hedder et stjernedøgn og er ca. 4 min kortere end vores døgn). Døgnet går derimod fra et punkt på Jorden peger mod Solen og til samme punkt igen peger mod Solen næste gang. Det er lidt længere tid end et omløb - og jo hurtigere Jorden bevæger sig, jo mere "ekstra" tid går der, før samme punkt igen peger mod Solen.
Vores mekaniserede dagligdag kan ikke længere leve med døgn af forskellig længde, så vi regner med et "middelsoldøgn", men hvis du bevæbner dig med en almanak og ser på Solens op- og nedgang foskellige dage, er du pænt langt på sporet.

Det korte svar er altså, at det ikke er den kinetiske energi, der er bevaret i et upåvirket system, men den mekaniske. Så du skal medregne den potentielle energi - og hastighederne er så lave, at du roligt kan regne klassisk!

[HansChristian]

Du synes at forestille dig, at satellitter kun kan bevæge sig i cirkelbaner, og derved opstår dit problem.

Nej, - da misforstår du

Den normale bane er imidlertid en ellipse, og det er helt normalt, at en satellit har højere fart i den del af banen, der er nærmere centrallegemet, end i den anden del.

Ja, - højere fart i retning fra apogee til perigee.

 

"Din" satellit vil miste kinetisk energi og derfor gå ind i en lavere ellipsebane, som i dette tilfælde tillige får større ekscentricitet. .

Satellitten, vil miste kinetisk energi ved kollision med atmosfæren, - eller plasma, (som omsættes til termisk energi) – Men den vil også omsætte potentiel gravitionel energi til kinetisk energi.

men dens apoapsis vil mindst have samme afstand fra centrallegemet, som der hvor den blev ramt af påvirkningen, der kostede kinetisk energi.

Hvis vi siger at modstanden kun gælder i fx det halve kredsløb, så vil den i denne del af kredsløbet falde længere ind mod Jorden i og med at en del kinetisk energi er gået ”tabt” . Den vil ikke kunne genvende det tabte, i og med det er omsat til termisk energi. – Hvilket vil sige at den langsomt cirkler ind mord Jorden.

Som man ser så sker der begge dele samtidigt, satellitten både ”mister” kinetisk energi fordi kinetisk energi omsættes til termisk energi. – Og den vinder i samme proces også kinetisk energi i og med at potentiel gravitionel energi omsættes til kinetisk energi, i højere grad end tilfældet ville være uden modstanden mod bevægelsen. ( den falder mere mod Jorden end den ellers ville have gjordt)

Spørgsmålet er så hvordan man regner netto resultatet ud, - og meget gerne som netto hastighed, efter fx ½ kredsløb med en modstand der kunne hedde 1E-10m/s^2

[Morten Jødal]

Som man ser så sker der begge dele samtidigt, satellitten både ”mister” kinetisk energi fordi kinetisk energi omsættes til termisk energi. – Og den vinder i samme proces også kinetisk energi i og med at potentiel gravitionel energi omsættes til kinetisk energi, i højere grad end tilfældet ville være uden modstanden mod bevægelsen. ( den falder mere mod Jorden end den ellers ville have gjordt)

Ja, vi har talt forbi hinanden - men du har også misforstået noget grundlæggende.

Ved ethvert sammenstød med partikler, der kommer imod satellitten, mister den lidt mekanisk energi, der omsættes til termisk energi. Jeg srkiver med vilje ikke "kinetisk" energi, selv om det vil være det typiske - men det er vigtigt at se på den samlede mekaniske energi.
Energitabet vil typisk betyde, at satellitten får en lavere tangentialhastighed, hvorimod accelerationen i radial retning er uændret - den skyldes gravitationen.
Resultatet vil blive, at satellitten falder hastigere ind mod jorden og derved kommer nærmere denne. Den mister altså mere potentiel energi end i den oprindelige bane.
Den nye bane får større ekscentricitet og et perigæum, der ligger nærmere Jorden end i den gamle bane - og har altså mindre samlet mekanisk energi end denne. Men fordi den potentielle energi i perigæum er lavere end før, kan der godt være mere kinetisk energi. Det er der ingen modsigelse i - summen (den mekaniske energi) er lavere end før.

Dit egentlige spørgsmål er derimod umuligt at besvare.
Du forudsætter jo en stadig solvind eller atmosfærisk opbremsning, hvorved selve begrebet "bane" ikke længere er en periodisk størrelse. Jeg har aldrig lært en matematik, der behandler "spirallerende ellipser", og jeg er helt sikker på man i praksis vil opstille numeriske ligninger, hvori relevante parametre er indsat. Newtons gravitationslov er en del af ligningssystemet, bremseeffekten en anden. Og så skal der lige sættes et passende step ind.
Der findes fuldt færdige programmer til at behandle sådanne systemer, når man blot kan opstille (ikke løse) de grundlæggende differentialligninger.
Forøvrigt omfatter dit spørgsmål to forskellige tilfælde, for solvind vil i en del af banen accelerere satellitten, friktion i atmosfæren altid bremse op.
Længe leve computeren! Den simple matematiske formel er død