Acceleration i en ellipsebane

[HansChristian]

Hvordan beregnes acceleration i en ellipsebane, hvilken ligning bruger man.

[Morten Jødal]

hvilken ligning bruger man.

Newtons 1. og 2. lov ... samt gravitationsloven, idet jeg går ud fra, at du mener en keplerbane?

Altså: Hvis en partikel (elektron, atom, riffelkugle, planet ...) bevæger sig anderledes end retlinet, så er der en acceleration. Accelerationsvektoren er den tidsafledede af hastighedsvektoren.
Dette er en såkaldt kinematisk beskrivelse og egentlig et fuldstændigt svar på dit spørgsmål som du har stillet det.

Men jeg tolker det sådan, at du også vil have en dynamisk beskrivelse, hvor kræfter indgår som årsag til accelerationen; jeg antager yderligere, at du i virkeligheden tænker på en elliptisk planetbevægelse med Solen i det ene brændpunkt - og altså gravitationskraften som basis for, at der er en acceleration, og planetens oprindelige hastighed (med tilhørende kinetiske energi) som basis for, at den ikke simpelthen falder ind i Solen med et lille plop!
Den enkleste måde at lave denne beregning på er at placere Solen i Origo af et todimensionalt koordinatsystem og placere planeten på et sted på x-aksen med hastighedskomposanterne (v_x, v_y) = (0, v_0y).
Herefter er det blot at indsætte passende sol- og planetmasser i gravitationsloven og mase på med lidt simpel aritmetik - eller alternativt at programmere din PC til at gøre det numerisk.
Alt efter dine valg kan du få en ellipse, hvor dit startpunkt er aphelium, en cirkel, en ellipse, hvor du er startet i perihelium, en parabelgren eller en hyperbelgren. Hvis dine to partikler er punktformige, er dette en udtømmende beskrivelse af mulighederne; har de udstrækning, kan en lav v₀ naturligvis føre til et sammenstød mellem planet og sol.

Johannes Kepler gennemførte den kinematiske beregning af Mars' bane på basis af Tycho Brahes måledata og påviste, at det passede med en ellipse (publiceret 1609 i Astronomia Nova).
Senere målte Edmund Halley på den komet, der blev opkaldt efter ham, og viste at kometen fulgte en ellipsebane - og at samme komet følgelig havde været synlig flere gange tidligere, hvilket passede med nedskrevne observationer.
Han søgte hjælp til beregningen hos Isaac Newton og gav dermed  denne stødet til at systematisere sine mekaniske beregninger til det, der blev hans hovedværk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (ofte kort kaldt "Principia") - hvori gravitationsloven findes.

Ingen af disse dygtige folk havde computere, og da astronomer tillige er nødt til at regne i 3 dimensioner, idet planeterne ikke er så venlige at lægge sig i præcis samme plan allesammen , var dette faktisk betydelige bedrifter.

Som nævnt andetsteds har Einstein senere gennemført tilsvarende beregninger, der giver lidt andre resultater, idet omvekslingen mellem potentiel og kinetisk energi ikke er helt magen til, når man regner relativistisk.
Men uanset om man regner relativistisk eller klassisk, er en vis del af planetens kinetiske energi, som  er højest i perihelium, blevet vekslet til potentiel energi i aphelium - og veksles så tilbage igen i den anden banehalvdel. Tilstedeværelsen af et tredje legeme kan naturligvis ændre beregningen.

[HansChristian]

Morten

Kan du foreslå en lærebog fra trin 1, - for at få det hele med.
Det er så irriterende når der er et eller andet dumt tegn man ikke forstår.

[Morten Jødal]

Hej Hans Christian.

Det tror jeg ikke jeg kan - for problemet bliver altid behandlet i en større helhed. Jeg har fx selv lært det som en del af matematikundervisningen i gymnasiet (ellipsen) og lidt senere fysikundervisningen sammesteds (keglesnitsbaner, herunder ellipsen). Det sidste har jeg siden selv undervist i, men det er stærkt reduceret i nyere gymnasiefysikbøger.

Jeg har et par Wikipedia-links til hhv. ellipsen og gravitationsloven.

Du kan prøve at lave en numerisk løsning i fx et regneark (der findes bedre programmer til at simulere banekurver, så har du et, bruger du naturligvis det, ellers er det med lidt snilde muligt i Excel elelr OpenCalc).

Begynd som jeg anviste i mit forrige indlæg og brug formlerne:

dv = a*dt (her skal du naturligvis regne både for v_x og v_y)
v := v+dv
dx = v_x*dt (og tilsvarende med y)
x := x + dx

a finder du ved at dividere F i gravitationsformlen med planetmassen. Den skal så opløses i x- og y-komposanter (de to kateter til den retvinklede trekant, hvor hele længden er hypotenuse, x og y bestemmer retningen).

Når du beregner a, skal du huske, at centrallegemet (Solen) er placeret i Origo, så længden af stedvektoren r kan let findes ved Pythagoras af x og y.

Det lille d betyder, at de simple formler kun gælder for en differentiel (meget lille, i princippet uendeligt lille) tilvækst, i praksis et step, som du bestemmer. Det er tiden t, du skal steppe med, så følger resten af sig selv.

Lyder det indviklet?
Det er det også, hvis du er helt uden forudsætninger!
Vi andre har lært det gennem flere års systematisk undervisning.

Simuleringsprogrammer er til gengæld noget, der er kommet stærkt frem i de senere år, så måske kan du ligefrem finde et på nettet?
Man skal typisk kun indtaste grundformlerne (som står herover, pånær gravitationsloven), startværdierne og stepstørrelsen, så kører programmet selv resten.

[Morten Jødal]

Jeg glemte lige ...
Tegnet := er et "definitionslighedstegn", som jeg lærte, da jeg programmerede. Det betyder: "Indsæt som ny værdi (til venstre for lighedstegnet) den værdi, der stod der i forvejen (samme tegn til højre for lighedstegnet) ændret med hvad der iøvrigt står til højre - altså fx "erstat x med den nye værdi x+dx".
Bruger du et regneark, skal du have en ny kolonne til den nye værdi, som til gengæld automatisk skal overføres til forrige kolonne i rækken nedenunder.